Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（�。┯沜_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；
（ⅱ）若數(shù)列{

an

n

}中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次．求a₁應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（�。┫雀鶕�(jù)題中已知條件推導(dǎo)出b_n+6=b_n，然后求出c_n+1-c_n為定值，便可證明數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；
（ⅱ）數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列，然后分別討論當(dāng)ai=

7i

6

時(shí)和當(dāng)ai≠

7i

6

時(shí)，數(shù)列{

an

n

}是否滿(mǎn)足題中條件，便可求出a₁應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，
有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1（2分）
=1+

(n-1)×n

2

=

n2

2

-

n

2

+1．（3分）
又因?yàn)閍₁=1也滿(mǎn)足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為an=

n2

2

-

n

2

+1．（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)知：b_n＞0，對(duì)任意的n∈N^*有b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，
于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n（5分）
∴b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，b_6n-3=b₃=2，b_6n-2=b₄=1，b6n-1=b5=

1

2

，b6n=

1

2

（�。ヽ_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥1），
所以數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．（7分）
（ⅱ）設(shè)d_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以d_n+1-d_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5=7（n≥0）
所以數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列．（9分）
設(shè)fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7k

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
（其中n=6k+i（k≥0），i為{1，2，3，4，5，6}中的一個(gè)常數(shù)），
當(dāng)ai=

7i

6

時(shí)，對(duì)任意的n=6k+i有

an

n

=

7

6

；（10分）
由ai=

7i

6

，i∈{1，2，3，4，5，6}知a1=

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

，

1

2

；
此時(shí)

7

6

重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次．
當(dāng)ai≠

7i

6

時(shí)，fk+1-fk=

ai- 7i 6

6(k+1)+i

-

ai- 7i 6

6k+i

=(ai-

7i

6

)(

1

6(k+1)+i

-

1

6k+i

)=(ai-

7i

6

)(

-6

[6(k+1)+i](6k+i)

)
①若ai＞

7i

6

，則對(duì)任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)減數(shù)列；
②若ai＜

7i

6

，則對(duì)任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以數(shù)列{

a6k+i

6k+i

}為單調(diào)增數(shù)列；
（12分）{

a6k+i

6k+i

}（i=1，2，3，4，5，6）均為單調(diào)數(shù)列，任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多各出現(xiàn)一次，
即數(shù)列{

an

n

}中任意一項(xiàng)的值最多出現(xiàn)六次．
綜上所述：當(dāng)a1∈{

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}=B時(shí)，數(shù)列{

an

n

}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次．
當(dāng)a₁∉B時(shí)，數(shù)列{

an

n

}中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．