已知橢圓:的長軸長為4,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)、、是橢圓上的三點,若,點為線段的中點,、兩點的坐標分別為、,求證:.
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在平面直角坐標系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點,求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點,并求出該定點坐標.
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已知橢圓長軸的左右端點分別為A,B,短軸的上端點為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點,且·=1,||=1.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點,問:是否存在直線l,使得點F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.
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已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,焦距為,且經(jīng)過點,直線交橢圓于不同的兩點A,B.
(1)求的取值范圍;,
(2)若直線不經(jīng)過點,求證:直線的斜率互為相反數(shù).
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給定圓:及拋物線:,過圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為,如果線段的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列,求直線的方程.
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已知,橢圓C過點,兩個焦點為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是橢圓C上的兩個動點,如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),證明直線的斜率為定值,并求出這個定值.
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如圖,在平面直角坐標系中,已知,,,直線與線段、分別交于點、.
(1)當時,求以為焦點,且過中點的橢圓的標準方程;
(2)過點作直線交于點,記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上;
②圓是否恒過異于點的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由.
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已知、分別是橢圓: 的左、右焦點,點在直線上,線段的垂直平分線經(jīng)過點.直線與橢圓交于不同的兩點、,且橢圓上存在點,使,其中是坐標原點,是實數(shù).
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)當取何值時,的面積最大?最大面積等于多少?
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