Question

已知函數(shù)f（x）=，a為常數(shù)且a＞0．
（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；
（2）若x滿足f（f（x））=x，但f（x）≠x，則x稱為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)，如果f（x）有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x₁，x₂，試確定a的取值范圍；
（3）對(duì)于（2）中的x₁，x₂，和a，設(shè)x₃為函數(shù)f（f（x））的最大值點(diǎn)，A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（x₃，0），記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要證明成立即可；
（2）對(duì)a分類討論，利用二階周期點(diǎn)的定義即可得出；
（3）由（2）得出x₃，得出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)性．
解答：（1）證明：∵==a（1-2|x|），=a（1-2|x|），
∴，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．
（2）解：當(dāng)時(shí)，有f（f（x））=．
∴f（f（x））=x只有一個(gè)解x=0又f（0）=0，故0不是二階周期點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，有f（f（x））=．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，有f（f（x））=，
∴f（f（x））=x有四個(gè)解：0，，，．
由f（0）=0，，，．
故只有，是f（x）的二階周期點(diǎn)，綜上所述，所求a的取值范圍為．
（3）由（2）得，．
∵x₂為函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)，∴，或．
當(dāng)時(shí)，S（a）=．求導(dǎo)得：S^′（a）=．
∴當(dāng)時(shí)，S（a）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，S（a）單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，S（a）=，求導(dǎo)得．
∵，從而有．
∴當(dāng)時(shí)，S（a）單調(diào)遞增．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義“二階周期點(diǎn)”、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力．