設(shè)x、y∈R,,為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若向量=x+(y+2)=x+(y-2),且||+||=8.

(1)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;

(2)過點(diǎn)(0,3)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè),是否存在這樣的直線l,使得四邊形OAPB是矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.

答案:
解析:

  (1)∵=x+(y+2)=x+(y-2)且||+||=8

  ∴點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2)的距離之和為8.

  ∴軌跡C為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,方程為=1.

  (2)∵l過y軸上的點(diǎn)(0,3).

  若直線l是y軸,則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

  ∴,∴P與O重合,與四邊形OAPB是矩形矛盾.

  ∴直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=kx+3,A(x1,y1)B(x2,y2)

  由消去y得:(4+3k2)x2+18kx-21=0

  此時(shí)Δ=(18k)2-4(4+3k2)(-21)>0恒成立.

  且x1+x2=-,x1x2=-

  ∵∴四邊形OAPB是平行四邊形

  若存在直線l,使得四邊形OAPB是矩形,則,即·=0

  ∵=(x1,y1),=(x2,y2)∴·=x1x2+y1y2=0

  即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0

  即(1+k2)·(-)+3k·(-)+9=0

  即k2,得k=±

  ∴存在直線l:y=±+3,使得四邊形OAPB為矩形.


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