如圖,棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°。
(Ⅰ)證明:BD⊥AA1;
(Ⅱ)求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP//平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說(shuō)明理由。
(Ⅰ)見(jiàn)解析
(Ⅱ)
(Ⅲ)見(jiàn)解析
連接BD交AC于O,則BD⊥AC,
連接A1O
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO,由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD,
所以A1O⊥底面ABCD
∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,)
|
(Ⅰ)由于
則
∴BD⊥AA1……………………4分
(Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
設(shè)⊥平面AA1D
則
得到……………………6分
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
(Ⅲ)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP//平面DA1C1
設(shè)
則
得……………………9分
設(shè)
則設(shè)
得到……………………10分
又因?yàn)?img width=37 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/24/372224.gif">平面DA1C1
則·
即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP……………………12分
法二:在A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O,由于平面AA1C??1C⊥平面
ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理知,A1O⊥平面ABCD,
又底面為菱形,所以AC⊥BD
|
……………………4分
(Ⅱ)在△AA1O中,A1A=2,∠A1AO=60°
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O(shè)是AC的中點(diǎn),由于底面ABCD為菱形,所以
O也是BD中點(diǎn)
由(Ⅰ)可知DO⊥平面AA1C
過(guò)O作OE⊥AA1于E點(diǎn),連接OE,則AA1⊥DE
則∠DEO為二面角D—AA1—C的平面角
……………………6分
在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1,DO=
在Rt△AEO中,OE=OA·sin∠EAO=
DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
(Ⅲ)存在這樣的點(diǎn)P
連接B1C,因?yàn)锳1B1ABDC
∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。
∴A1D//B1C
在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P,使C1C=CP,連接BP……………………10分
因B??1??BCC1,……………………12分
∴BB1CP
∴四邊形BB1CP為平行四邊形
則BP//B1C
∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1
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