已知,.數(shù)列an滿足
(Ⅰ)證明:0<an<an+1<1;
(Ⅱ)已知,證明:
(Ⅲ)設Tn是數(shù)列an的前n項和,判斷Tn與n-3的大小,并說明理由..
【答案】分析:(I)先根據(jù)得出下面用數(shù)學歸納法證明:0<an<an+1<1.
(Ⅱ)要證,即證,其中
..利用導數(shù)研究在上的最值問題,先求出函數(shù)的極值,往往求出的極大值就是最大值,即可證得即;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知從而

結合放縮法即可證明得Tn>n-3.
解答:解:(I)∵


.(1分)
下面用數(shù)學歸納法證明:0<an<an+1<1.
①n=1時,,
故結論成立.
②假設n=k時結論成立,即
,
即0<ak+1<ak+2<1.
也就是說n=k+1時,結論也成立.
由①②可知,對一切n∈N*均有0<an<an+1<1.(4分)
(Ⅱ)要證,即證,其中
.
,得.(6分)
x
g'(x)+-
g(x)極大值
又g(1)=0,
∴當,g(x)>0.


.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
.(11分)

.(13分)
,

∴Tn>n-3.(14分)
點評:本題考查數(shù)列與向量的綜合,解題時要注意公式有靈活運用.本題還考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系,處理方法是當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足:an+1=
1
2
(an+
1
an
)(n∈N+).
(1)求a1的范圍,使得an+1<an恒成立;
(2)若a1=
3
2
,證明an<1+
1
2n+1
(n∈N+,n≥2);
(3)(理)若a1=
3
2
,證明:
a1
a2
+
a2
a3
+
a3
a4
+…+
an
an+1
-n<
2
+1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足:
an
-
an-1
=1,(n∈N+,n≥2),且a1=4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求證
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
<1(n∈N+

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
,且an+1=
an
1+an

(1)證明數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)求證:
a1
2
+
a2
3
+
a3
4
+…+
an
n+1
<1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•武清區(qū)一模)已知正項數(shù)列{an}滿足ann+nan-1=0(n∈N*
(1)求a1,a2;
(2)求證:0<an<1
(3)求證:a12+a22+…+an2<1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{ an }滿足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 (n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是數(shù)列{ an }的前n項和.
(Ⅰ)求通項an
(Ⅱ)記數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項和為Tn,若Tn<2對所有的n∈N*都成立.求證:0<t≤1.

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