【答案】
分析:(I)先根據(jù)
得出
下面用數(shù)學歸納法證明:0<a
n<a
n+1<1.
(Ⅱ)要證
,即證
,其中
.
令
.
.利用導數(shù)研究在
上的最值問題,先求出函數(shù)的極值,往往求出的極大值就是最大值,即可證得即
;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
從而
∴
.
結合放縮法即可證明得T
n>n-3.
解答:解:(I)∵
,
∴
.
∴
.
∴
.(1分)
下面用數(shù)學歸納法證明:0<a
n<a
n+1<1.
①n=1時,
,
故結論成立.
②假設n=k時結論成立,即
.
∴
,
即0<a
k+1<a
k+2<1.
也就是說n=k+1時,結論也成立.
由①②可知,對一切n∈N
*均有0<a
n<a
n+1<1.(4分)
(Ⅱ)要證
,即證
,其中
.
令
.
.
由
,得
.(6分)
又g(1)=0,
.
∴當
,g(x)>0.
∴
.
∴
.
即
.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
.(11分)
∴
.
∴
.(13分)
又
,
即
.
∴T
n>n-3.(14分)
點評:本題考查數(shù)列與向量的綜合,解題時要注意公式有靈活運用.本題還考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系,處理方法是當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.