Question

已知正項數列{ a_n }滿足S_n+S_n-1=

2 ta n

+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是數列{ a_n }的前n項和．
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）記數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，若T_n＜2對所有的n∈N^*都成立．求證：0＜t≤1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，S₂+S₁=

2 ta 2

+2，得a₂=

2 ta 2

，所以a₂=

1

t

，a_n+a_n-1=t（

2 a n

-

2 a n-1

）（n≥3），（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，所以a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）由T₁=1＜2，T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t+t²（1-

1

n

）=t+t²

n-1

n

，知要使T_n＜2，對所有的n∈N^*恒成立，只要T_n=t+t²

n-1

n

＜t+t²≤2成立，由此能夠證明：0＜t≤1．

解答：（Ⅰ）解：∵a₁=1，由S₂+S₁=

2 ta 2

+2，
得a₂=

2 ta 2

，∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，
S_n+S_n-1=

2 ta n

+2，①
S_n-1+S_n-2=

2 ta n-1

+2 （n≥3）②
①-②得a_n+a_n-1=t（

2 a n

-

2 a n-1

）（n≥3），
（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，
由數列{ a_n }為正項數列，
∴a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），
即數列{ a_n }從第二項開始是公差為

1

t

的等差數列．
∴a_n=

1n=1 n-1 t n≥2

（Ⅱ）證明：∵T₁=1＜2，當n≥2時，
T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t+t²（1-

1

n

）
=t+t²

n-1

n

．
要使T_n＜2，對所有的n∈N^*恒成立，
只要T_n=t+t²

n-1

n

＜t+t²≤2成立，
∴0＜t≤1．

點評：本題考查數列前n項和與數列通項公式的關系、等差數列、裂項求和法等．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．