解:(1)∵y=-x
3在R上單減,所以區(qū)間[a,b]滿足
解得a=-1,b=1
(2)∵函數(shù)y=2x+lgx在(0,+∞)單調(diào)遞增
假設存在滿足條件的區(qū)間[a,b],a<b,則
即
∴l(xiāng)gx=-x在(0,+∞)有兩個不同的實數(shù)根,但是結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,y=lgx與y=-x只有一個交點
故不存在滿足條件的區(qū)間[a,b],函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函數(shù)
(3)易知y=k+
在[-2,+∞)上單調(diào)遞增.設滿足條件B的區(qū)間為[a,b],則方程組
有解,方程x=k+
至少有兩個不同的解
即方程x
2-(2k+1)x+k
2-2=0有兩個都不小于k的不根.
∴
得
,即所求.
另解:(1)易知函數(shù)f(x)=-x
3是減函數(shù),則有
,解得
,
(2)∵函數(shù)y=2x+lgx在(0,+∞)單調(diào)遞增
假設存在滿足條件的區(qū)間[a,b],a<b,則
即
∴l(xiāng)gx=-x在(0,+∞)有兩個不同的實數(shù)根,但是結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,y=lgx與y=-x只有一個根
所以,函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函
(3)由函數(shù)f(x)=k+
是閉函數(shù),易知函數(shù)是增函數(shù),則在區(qū)間[a,b]上函數(shù)的值域也是[a,b],說明函數(shù)f(x)圖象與直線y=x有兩個不同交點,令k+
,則有
k=x-
=
,(令t=
),如圖
則直線若有兩個交點,則有k
分析:(1)由y=-x
3在R上單減,可得
,可求a,b
(2)由函數(shù)y=2x+lgx在(0,+∞)單調(diào)遞增可知
即
,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷
(3)易知y=k+
在[-2,+∞)上單調(diào)遞增.設滿足條件B的區(qū)間為[a,b],則方程組
有解,方程x=k+
至少有兩個不同的解,即方程x
2-(2k+1)x+k
2-2=0有兩個都不小于k的不根.結(jié)合二次方程的實根分布可求k的范圍
另解:(1)易知函數(shù)f(x)=-x
3是減函數(shù),則有
,可求
(2)取特值說明即可,不是閉函數(shù).
(3)由函數(shù)f(x)=k+
是閉函數(shù),易知函數(shù)是增函數(shù),則在區(qū)間[a,b]上函數(shù)的值域也是[a,b],說明函數(shù)f(x)圖象與直線y=x有兩個不同交點,結(jié)合函數(shù)的 圖象可求
點評:本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的綜合應用,方程的解與函數(shù)的交點的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應用,綜合應用了函數(shù)的知識及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想.