Question

已知函數(shù)，且a≠1）的定義域為M．
（Ⅰ）求定義域M，并寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈M時，求函數(shù)g（x）=2^x+3-4^x的值域．

Answer 1

解：（ I）∵函數(shù)，且a≠1），
∴-x²+4x-3＞0，解得1＜x＜3，
∴定義域M={x|1＜x＜3}．
①當0＜a＜1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（2，3），
②當a＞1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（1，2）．；
（ II）∵g（x）=2^x+3-4^x=8×2^x-（2^x）²，
令t=2^x，則2＜t＜8，
∴g（x）=-t²+8t，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：
當2＜t＜8時，g（x）的值域是（0，16]．
分析：（I）由函數(shù)，且a≠1），知-x²+4x-3＞0，由此能求出函數(shù)的定義域和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）由g（x）=2^x+3-4^x=8×2^x-（2^x）²，令t=2^x，則2＜t＜8，由此能求出函數(shù)g（x）=2^x+3-4^x的值域．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域和增區(qū)間的求法，考查指數(shù)函數(shù)的值域的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意換元法的合理運用．