已知曲線C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.

(1)求證：曲線C都表示圓，并且這些圓心都在同一條直線上；

(2)證明：曲線C過定點；

(3)若曲線C與x軸相切，求k的值.

解析：(1)原方程可化為

(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2.

∵k≠-1,∴5(k+1)2＞0.

故方程表示圓心在(-k,-2k-5)、半徑為5|k+1|的圓.

設(shè)圓心為(x,y)有消去k，得2x-y-5=0.

∴這些圓的圓心都在直線2x-y-5=0上.

(2)將原方程變形成k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0.

上式關(guān)于參數(shù)k是恒等式.

∴解得

∵曲線C過定點(1，-3)

(3)∴圓C與x軸相切，∴圓心到x軸的距離等于半徑，

即  |-2k-5|=|k+1|.

兩邊平方，得(2k+5)2=5(k+1)2.

∴k=5±.

練習冊系列答案
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2
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