Question

19．如圖所示，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA₁，D是棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面AB₁C⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）在棱A₁B₁上是否存在一點(diǎn)E，使C₁E∥平面A₁BD？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）要證平面AB₁C⊥平面A₁BD，只需在平面AB₁C內(nèi)找一條直線（A₁B）垂直平面A₁BD即可；
（2）設(shè)AB₁∩A₁B=F，連接EF，F(xiàn)D，C₁E，由EF=$\frac{1}{2}$AA₁，EF∥AA₁，且C₁D=$\frac{1}{2}$AA₁，C₁D∥AA₁，
可得EF∥C₁D，且EF=C₁D，四邊形EFDC₁是平行四邊形即可得到，當(dāng)E為A₁B₁的中點(diǎn)時，C₁E∥平面A₁BD．

解答 解：（Ⅰ）∵AA₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，∴AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AA₁∩AB=A，∴AC⊥平面ABB₁A₁，
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁B，
∵AB=AA₁，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AB₁∩AC=A，∴A₁B⊥平面AB₁C，
又∵A₁B?平面A₁BD，∴平面AB₁C⊥平面A₁BD．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)E為A₁B₁的中點(diǎn)時，C₁E∥平面A₁BD．下面給予證明．
設(shè)AB₁∩A₁B=F，連接EF，F(xiàn)D，C₁E，
∵EF=$\frac{1}{2}$AA₁，EF∥AA₁，且C₁D=$\frac{1}{2}$AA₁，C₁D∥AA₁，
∴EF∥C₁D，且EF=C₁D，
∴四邊形EFDC₁是平行四邊形，
∴C₁E∥FD，又∵C₁E?平面A₁BD，F(xiàn)D?平面A₁BD，
∴C₁E∥平面A₁BD．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)、線面平行的推導(dǎo)．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)定理以及空間幾何體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題．