Question

11．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，若在C上存在一點P，使得|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（O為坐標原點），且直線OP的斜率為$\sqrt{3}$，則，雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 依題意可知|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|判斷出∠F₁PF₂=90°，直線OP的斜率為$\sqrt{3}$，可求出出|PF₂|=$\sqrt{3}$c，則|F₁P|=c，進而利用雙曲線定義可用c表示出a，最后可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
∴|OF₁|=|OF₂|=|OP|
∴∠F₁PF₂=90°，
∵直線OP的斜率為$\sqrt{3}$，
∴∠POF₁=60°，
∴|PF₁|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了學生對雙曲線定義的理解和靈活運用，屬于中檔題．