Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，M是AD上一點．

（1）求證：AB⊥PM；
（2）若N是PB的中點，且AN∥平面PCM，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB，

∵ABCD為矩形，∴AB⊥AD，

又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，

而PM平面PAD，

∴AB⊥PM；

（2）解：如圖，取PC中點E，連接NE，ME，

∵N是PB中點，∴NE∥BC，

又∵BC∥AM，∴NE∥AM，

故N，E，A，M四點共面．

∵AN∥平面PCM，AN平面ANEM，平面ANEM∩平面PCM=EM，

∴AN∥ME．

故四邊形ANEM是平行四邊形，

∴AM=NE= ，

∴ = ．

【解析】1、由已知，PA⊥平面ABCD得到，PA⊥AB；再根據(jù)已知可得，AB⊥AD，利用線面垂直的判定定理可得證，AB⊥平面PAD，PM平面PAD，

即得證：AB⊥PM；

2、根據(jù)題意作輔助線，取PC中點E，連接NE，ME。根據(jù)條件利用線面平行的性質(zhì)定理得證：NE∥AM，AN∥ME，可得四邊形NEMA為平行四邊形，因為N是PB的中點，故有AM=NE= B C = A D ，即得結(jié)果。