【題目】【2018河南濮陽(yáng)市高三一模】已知點(diǎn)在拋物線上, 是拋物線上異于的兩點(diǎn),以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).
(I)證明:直線過(guò)定點(diǎn);
(II)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,求垂足的軌跡方程.
【答案】(I)證明見解析;(II).
【解析】試題分析:(1)代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到拋物線方程,設(shè)直線,與拋物線方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用,代入根與系數(shù)的關(guān)系,求得,代入直線方程,得到定點(diǎn);(2)根據(jù)(1)可知,點(diǎn)的軌跡滿足圓的方程,以為直徑的圓去掉,寫出圓的方程即可.
試題解析:(1)點(diǎn)在拋物線上,代入得,所以拋物線的方程為,
由題意知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,設(shè), ,
聯(lián)立得,得, ,
由于,所以,即,
即.(*)
又因?yàn)?/span>, ,
代入(*)式得,即,
所以或,即或.
當(dāng)時(shí),直線方程為,恒過(guò)定點(diǎn),
經(jīng)驗(yàn)證,此時(shí),符合題意;
當(dāng)時(shí),直線方程為,恒過(guò)定點(diǎn),不合題意,
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
(2)由(1),設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓且去掉,方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下,充分利用自身資源,大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè),以增加收入,政府計(jì)劃共投入72萬(wàn)元,全部用于甲、乙兩個(gè)合作社,每個(gè)合作社至少要投入15萬(wàn)元,其中甲合作社養(yǎng)魚,乙合作社養(yǎng)雞,在對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益M、養(yǎng)雞的收益N與投入a(單位:萬(wàn)元)滿足,N=a+20.設(shè)甲合作社的投入為x(單位:萬(wàn)元),兩個(gè)合作社的總收益為f(x)(單位:萬(wàn)元).
(1)當(dāng)甲合作社的投入為25萬(wàn)元時(shí),求兩個(gè)合作社的總收益;
(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)合作社的投入,才能使總收益最大,最大總收益為多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若函數(shù)的最小值為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為創(chuàng)建國(guó)家級(jí)文明城市,某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少參加一次“愛心送考”,該城市某出租車公司共200名司機(jī),他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求該出租車公司的司機(jī)參加“愛心送考”的人均次數(shù);
(2)從這200名司機(jī)中任選兩人,設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤(rùn)與投資量的單位:萬(wàn)元).
(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司已有10萬(wàn)元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中,問(wèn):怎樣分配這10萬(wàn)元投資,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè):服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出第一次服藥后,y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t);
(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí),治療有效.求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓,其中,焦距為2,過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B在A,M之間.又線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若的圖像在直線下方,求b的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),若在上的最小值為0,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn),如圖所示,則下列命題中的真命題是________(寫出所有真命題的編號(hào)).
①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面中最多只有三個(gè)面是直角三角形;②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),總有;③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐的體積的定值;④若點(diǎn)是正方體的面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且到點(diǎn)和距離相等,則點(diǎn)的軌跡是一條線段.
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