20.如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最�。�

（半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1米）

20.（1）解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，4.5），

橢圓方程為+=1.

將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=,此時(shí)l=2a=≈33.3.

因此隧道的拱寬約為33.3米.

 

（2）解法一：由橢圓方程+=1,得+=1.

因?yàn)?IMG align="middle" height=41 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1898/img/06/71/47/189806714710014247/10.gif" width=27 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1106">+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.

當(dāng)S取最小值時(shí)，有==,得a=11,b=

此時(shí)l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小.

解法二：由橢圓方程+=1,

得+=1.

于是b2=·.

 

a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121,

 

即ab≥99,當(dāng)S取最小值時(shí)，有a2－121=.

得a=11,b=,以下同解法一.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最最�。浚ò雮�(gè)橢圓的面積公式為S=
π4
lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長(zhǎng)2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓．
精英家教網(wǎng)
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l？
（已知：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的面積公式為S=πab，柱體體積為底面積乘以高．）
（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)是梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)的
2
倍，試確定M、N的位置以及h的值，使總造價(jià)最少．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬為8
7
m，要求通行車輛限高4.5m，隧道全長(zhǎng)為2.5km，隧道的拱線可近似的看成半個(gè)橢圓形狀．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6m，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使隧道的土方工程量最��？
（注：①半個(gè)橢圓的面積公式為S=
π
4
lh；②隧道的土方工程量=截面面積×隧道長(zhǎng)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（03年上海卷）（14分）

 如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.

   （1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱

        寬l是多少？

   （2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)

        計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧

        道的土方工程量最最小？

      （半個(gè)橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米）

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22m，要求通行車輛限高4.5m，隧道全長(zhǎng)2.5km，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀。

（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則拱寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少？

（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6m，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬，才能使建造這個(gè)隧道的土方工程量最�。ò霗E圓面積公式為h）？

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