Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），記η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，則稱點(diǎn)P1 ， P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P1、P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線．
（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（﹣1，0）被直線x+y﹣1=0分隔；
（2）若直線y=kx是曲線x2﹣4y2=1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：把點(diǎn)（1，2）、（﹣1，0）分別代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，

∴點(diǎn)（1，2）、（﹣1，0）被直線 x+y﹣1=0分隔

（2）解：聯(lián)立直線y=kx與曲線x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根據(jù)題意，此方程無(wú)解，故有 1﹣4k2≤0，

∴k≤﹣ ，或 k≥ ．

曲線上有兩個(gè)點(diǎn)（﹣1，0）和（1，0）被直線y=kx分隔

（3）證明：設(shè)點(diǎn)M（x，y），則 |x|=1，故曲線E的方程為[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．

y軸為x=0，顯然與方程①聯(lián)立無(wú)解．

又P1（1，2）、P2（﹣1，2）為E上的兩個(gè)點(diǎn)，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，

故x=0是一條分隔線．

若過(guò)原點(diǎn)的直線不是y軸，設(shè)為y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，

令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，

∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0沒有實(shí)數(shù)解，

k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0沒有實(shí)數(shù)解，

即y=kx與E有公共點(diǎn)，

∴y=kx不是E的分隔線．

∴通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

【解析】（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根據(jù)η＜0，得出結(jié)論．（2）聯(lián)立直線y=kx與曲線x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根據(jù)此方程無(wú)解，可得1﹣4k2≤0，從而求得k的范圍．（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），與條件求得曲線E的方程為[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y軸為x=0，顯然與方程①聯(lián)立無(wú)解．把P1、P2的坐標(biāo)代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一條分隔線．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一般式方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）才能正確解答此題．