Question

正實數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,且{}成等差數(shù)列.

(1)證明:數(shù)列{an}中有無窮多項為無理數(shù);

(2)當n為何值時,an為整數(shù)?并求出使an<200的所有整數(shù)項的和.

Answer 1

 (1)證明:由已知有:=1+24(n-1),

從而an=.

取n-1=242k-1,則an=(k∈N*).

用反證法證明這些an都是無理數(shù).

假設an=為有理數(shù),則an必為正整數(shù),

且an>24k,故an-24k≥1,an+24k>1,與(an-24k)(an+24k)=1矛盾,

所以an=(k∈N*)都是無理數(shù),

即數(shù)列{an}中有無窮多項為無理數(shù).

(2)解:要使an為整數(shù),由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同為偶數(shù),且其中一個必為3的倍數(shù),

所以有an-1=6m或an+1=6m.

當an=6m+1時,有=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).

又m(3m+1)必為偶數(shù),

所以an=6m+1(m∈N)滿足=1+24(n-1),

即n=+1(m∈N)時,an為整數(shù);

同理an=6m-1(m∈N*)時,有=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N*)也滿足=1+24(n-1),

即n=+1(m∈N*)時,an為整數(shù);

顯然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是數(shù)列中的不同項,

所以當n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N*)時,an為整數(shù).

由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,

由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33.

設an中滿足an<200的所有整數(shù)項的和為S,

則S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)=×34+×33=6733.