Question

一半徑為4米的水輪如圖，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P₀）開(kāi)始計(jì)時(shí)．
（1）將點(diǎn)P距離水面的高度h（米）表示為時(shí)間t（秒）的函數(shù)；
（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)要多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）在點(diǎn)P每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈過(guò)程中，有多少時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度不小于2+2

3

米．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，當(dāng)x=0時(shí)，h=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得；
（2）令最大值為6，即h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2=6可求得時(shí)間；
（3）根據(jù)條件建立不等式h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2≥2+2

3

，求出t的范圍，從而求出時(shí)間．

解答：解：（1）依題意可知h的最大值為6，最小為-2，
∴有

A+B=6 -A+B=-2

，求得

A=4 B=2

，T=

60

4

=15，ω=

2π

15

，t=0時(shí)，h=0，
∴sinφ=-

1

2

，∴φ=-

π

6

，
∴函數(shù)的表達(dá)式為h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2；
（2）h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2=6，
即sin(

2π

15

t-

π

6

)=1，解得t=5s；
（3）h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2≥2+2

3

，即sin(

2π

15

t-

π

6

)≥

3

2

，
解得

15

4

≤t≤5，即在點(diǎn)P每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈過(guò)程中，
有

5

4

s點(diǎn)P距水面的高度不小于2+2

3

米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的問(wèn)題．考查了運(yùn)用三角函數(shù)的最值，周期等問(wèn)題確定函數(shù)的解析式．