【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求E的方程
（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)O，若存在，求出對(duì)應(yīng)直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】
（1）

解：設(shè)F（c，0），由條件知， ，解得c= ，又 ，

∴a=2，b2=a2﹣c2=1，

∴E的方程為：


（2）

解：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

把y=kx﹣2代入 ，化簡得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

由△=16（4k2﹣3）＞0，得 ，即k＜﹣ 或k＞ ．

， ，

∴ ．

若存在以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)O，則 ，

即 ，即 ，

∴k2=4，符合△＞0，

∴存在k=±2，符合題意，

此時(shí)l：y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2


【解析】（1）設(shè)出F，由直線AF的斜率為 求得c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx﹣2代入橢圓方程化簡，由判別式大于0求得k的范圍，若存在以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)O，求出 ，即 ，得到k2=4，符合△＞0，進(jìn)一步求出k值，則直線方程可求．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，地面上有一豎直放置的圓形標(biāo)志物，圓心為C，與地面的接觸點(diǎn)為G．與圓形標(biāo)志物在同一平面內(nèi)的地面上點(diǎn)P處有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且PG=50m．在觀測(cè)點(diǎn)正前方10m處（即PD=10m）有一個(gè)高為10m（即ED=10m）的廣告牌遮住了視線，因此在觀測(cè)點(diǎn)所能看到的圓形標(biāo)志的最大部分即為圖中從A到F的圓�。�

（1）若圓形標(biāo)志物半徑為25m，以PG所在直線為x軸，G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求圓C和直線PF的方程；
（2）若在點(diǎn)P處觀測(cè)該圓形標(biāo)志的最大視角（即∠APF）的正切值為 ，求該圓形標(biāo)志物的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx﹣ ax2 ．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2）
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求證：x1x2＞1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為（0，2），且離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）從橢圓C上一點(diǎn)M向圓x2+y2=1上引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于P、Q兩點(diǎn)時(shí)，求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一個(gè)容量為100的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，已知樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12）內(nèi)的頻數(shù)比樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[8，10）內(nèi)的頻數(shù)少12，則實(shí)數(shù)m的值等于（ ）
A.0.10
B.0.11
C.0.12
D.0.13

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出S的值為（ ）
A.2
B.﹣3
C.﹣
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值與函數(shù)g（x）=﹣ 在區(qū)間[1，2]上的最大值互為相反數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，給出下列四個(gè)命題： ①對(duì)角線AC1被平面A1BD和平面B1 CD1三等分；
②正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的表面積之比為1：2：3；
③以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積都是 ；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球在該正方體內(nèi)部部分的體積之比為6：π
其中正確命題的序號(hào)為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg （a＞0）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）= +b（b∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，討論方徎g（x）=ln|x|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（1﹣x）≤log（x）有解，求b的取值范圍．

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