Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-alnx+a，a∈R，g（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx²+c在點（3，g（3））處的切線方程為y=-3x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）f（x）-g（x）≥0在[1，十∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導函數(shù)f'（x）=x²-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{3}-a}{x}$，（x＞0），要判斷導函數(shù)正負，需對a進行分類討論；
（2）利用導函數(shù)的意義可得g'（3）=-3，g（3）=-9，進而求出b，c值，不等式可整理為2x²-alnx+a≥0在[1，十∞）上恒成立，構造函數(shù)令F（x）=2x²-alnx+a，要使函數(shù)F（x）有最小值，需單調遞增，且最小值F（1）≥0．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-alnx+a，
∴f'（x）=x²-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{3}-a}{x}$，（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當a＞0時
x在（$\root{3}{a}$，+∞）上f′（x）＞0，f（x）遞增；
x在（0，$\root{3}{a}$）上f′（x）＜0，f（x）遞減；
綜上：當a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（$\root{3}{a}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\root{3}{a}$）；
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx²+c在點（3，g（3））處的切線方程為y=-3x．
∴g'（3）=-3，g（3）=-9，
∴b=2，c=0，
∴g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²
∵f（x）-g（x）≥0在[1，十∞）上恒成立，
∴2x²-alnx+a≥0在[1，十∞）上恒成立，
令F（x）=2x²-alnx+a，
∴F'（x）=4x-$\frac{a}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-a}{x}$，
∴4-a＞0，F(xiàn)（1）≥0，
∴-2≤a＜4．

點評 考查了導函數(shù)的應用和恒成立問題的綜合．