Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，橢圓上的點到焦點的最近距離為

3

，其左、右焦點分別為F₁、F₂，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點與F₂重合．
（1）求橢圓及拋物線的方程；
（2）過F₁作拋物線的兩條切線，求切線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設橢圓的焦距為2c，利用離心率，列出方程，通過a-c=

3

，求解abc，可得橢圓的方程．拋物線的方程．（2）設過F₁的切線方程為y=k（x+

3

），聯立直線與拋物線方程，利用△=0，解得k=1或-1，可得拋物線的兩條切線的方程．

解答： 解：（1）設橢圓的焦距為2c，則由橢圓的離心率可得

c

a

=

a2-b2

a

=

1

2

，
故a=2c，b²=

3

4

a²．
又由條件可知a-c=

3

，故a=2

3

，c=

3

，b²=

3

4

×12=9，
故橢圓的方程為

x2

12

+

y2

9

=1．
則F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），由條件可知拋物線的焦點坐標為F₂（

3

，0），即

p

2

=

3

，
故拋物線的方程為y²=4

3

x．（6分）
（2）設過F₁的切線方程為y=k（x+

3

），
由

y=k(x+ 3 ) y2=4 3 x

可得k²x²+（2

3

k²-4

3

）x+3k²=0，
則△=（2

3

k²-4

3

）²-12k⁴=0，解得k=1或-1，
故拋物線的兩條切線的方程分別為y=x+

3

與y=-x-

3

．（12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，橢圓方程的求法，拋物線方程的求法，考查計算能力．