Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²，記b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+1-S_n可知a_n+1=2n+1，進而可知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（2）通過（1）可知b_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵S_n=n²，
∴S_n+1=（n+1）²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2n+1，
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（2）證明：由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+5•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{{3}^{n+1}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$）=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．