Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）xlnx-1（a∈R）．
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線與圓（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，求a的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立？如果存在，試求實數(shù)a的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得在切點處的切線斜率，以及切點，由點斜式方程求得切線方程，求得圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件可得d=r，計算即可得到a；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（x）＞0即$\frac{f（x）}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a≥1時，當(dāng)0＜a＜1時，考慮它們的單調(diào)性，即可判斷a的范圍

解答 解：（1）f（x）=ax²-（a+1）xlnx-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax-（a+1）（1+lnx），
f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=a-1，切點為（1，a-1），
則f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（a-1）=（a-1）（x-1），
即為（a-1）x-y=0，
由切線與圓（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，可得$\frac{|a-1|}{\sqrt{1+（a-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=0或2；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
即為$\frac{f（x）}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx，x＞1．
由g′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a+1}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上遞減，g（x）無最小值；
當(dāng)a≥1時，即0＜$\frac{1}{a}$≤1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上遞增，即有0≤a-1，
即為a≥1成立；
當(dāng)0＜a＜1則當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)1＜x＜$\frac{1}{a}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
即有x=$\frac{1}{a}$處取得最小值，即有0＜1-a-（a+1）ln$\frac{1}{a}$，
即為lna＞$\frac{a-1}{a+1}$．由y=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，
即y=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$在（0，1）遞增，即有l(wèi)nx＜$\frac{x-1}{x+1}$．
則不等式lna＞$\frac{a-1}{a+1}$無解．
綜上可得，存在實數(shù)a，且a≥1，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，合理分類，屬于中檔題．