【題目】已知函數(shù),,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)判斷函數(shù)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;

(Ⅱ),,使得不等式成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若,求證:.

【答案】(1)1(2)(3)見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù),得到函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)不等式等價(jià)于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)分別求兩個(gè)函數(shù)的最小值和最大值,建立不等式求的取值范圍;(Ⅲ)利用分析法逐步找到使命題成立的充分條件,即,證明,求的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)函數(shù)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1,,

理由如下:因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>,所以.

所以函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù).

因?yàn)?/span>,

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得

函數(shù)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

(Ⅱ)因?yàn)椴坏仁?/span>等價(jià)于,

所以,,使得不等式成立,等價(jià)于,

當(dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以時(shí),取得最小值-1,

,由于,,,

所以,故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因此,時(shí),取得最大值.

所以,所以,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),要證,只要證,

只要證

只要證,

由于,只要證.

下面證明時(shí),不等式成立.

,則

當(dāng)時(shí),,是單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,是單調(diào)遞增.

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得極小值也就是最小值為1.

,其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,

所以直線的方程為:,

由于點(diǎn)在圓上,所以直線與圓相交或相切,

當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí),

當(dāng)直線取得斜率的最大值為1.

時(shí),;時(shí),.

綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.

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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )(x∈R)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式并求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
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(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2 , 它們分別與圓C1和C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】(12分)

某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

最高氣溫

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天數(shù)

2

16

36

25

7

4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.學(xué)#@網(wǎng)

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將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,若按的可靠性要求,并據(jù)此資料,你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求分布列,期望和方差.

附:

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(Ⅱ)若對(duì)任意 都有恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè)函數(shù) ,求證:

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節(jié)氣

冬至

小寒(大雪)

大寒(小雪)

立春(立冬)

雨水(霜降)

驚蟄(寒露)

春分(秋分)

晷影長(zhǎng)(寸)

135

75.5

節(jié)氣

清明(白露)

谷雨(處暑)

立夏(立秋)

小滿(大暑)

芒種(小暑)

夏至

晷影長(zhǎng)(寸)

16.0

已知《易知》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸,夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸,那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為__________寸.

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