Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，且，求證：；

（2）若時(shí)，恒有，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過(guò)推導(dǎo)出來(lái)證得結(jié)論；

（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.

（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

要證，即證.

不妨設(shè)，則，，

下證，即證，

構(gòu)造函數(shù)，

，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，即，即，

，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即，故結(jié)論成立；

（2）由恒成立，得恒成立，

令，則.

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

令，得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

.

.

令，設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)在處取得最大值，即.

因此，的最大值為.