Question

【題目】已知函數f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+sin2x
（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若f（ ）= ，a=2，b= ，求c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+sin2x

= sin2x+ cos2x+ cos2x﹣ sin2x+sin2x

= sin（2x+ ），

∴令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，可得：函數f（x）的單調遞減區(qū)間為：[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵f（ ）= sin（A+ ）= ，可得：sin（A+ ）=1，

∵A∈（0，π），可得：A+ ∈（ ， ），

∴可得A+ = ，解得：A= ，

∵a=2，b= ，

∴由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：22=（ ）2+c2﹣2× ×c× ，整理可得：c2﹣2 c+2=0，

∴解得：c= ±1．

【解析】（1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）= sin（2x+ ），令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得f（x）的單調遞減區(qū)間．（2）由f（ ）= sin（A+ ）= ，可得：sin（A+ ）=1，結合范圍A∈（0，π），可得A的值，利用余弦定理即可解得c的值．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．