Question

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，

故橢圓方程為．    　　　　                …………5分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，

設(shè)，

因為，，故．                     …………7分

于是設(shè)直線的方程為，

由得．

由，得， 且,．    ……9分

由題意應(yīng)有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．                               …………12分

經(jīng)檢驗，當時，△不存在，故舍去．

當時，所求直線存在，且直線的方程為．

                                                     …………13分

【解析】本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問題，考查學(xué)生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當?shù)脑O(shè)出曲線方程，然后借助條件進一步確定求橢圓的標準方程應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考。“定形”是指對稱中心在原點，焦點在哪條對稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設(shè)出相應(yīng)的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個等式求解的值；關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說明假設(shè)不成立.本題的第二問就是利用這個解題思路，借助韋達定理和距離公式進行轉(zhuǎn)化和探索.