Question

已知橢圓C：，一個頂點為A（0，2）
（1）若將橢圓C繞點P（1，2）旋轉(zhuǎn)180°得到橢圓D，求橢圓D方程
（2）若橢圓C與直線y=kx+m （k≠0）相交于不同的M、N兩點，且|AM|=|AN|，
求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得，橢圓C的對稱中心（0，0）關(guān)于點P（1，2）的對稱點為（2，4），且對稱軸平行于坐標(biāo)軸，
長軸、短軸的長度不變，故將橢圓C繞點P（1，2）旋轉(zhuǎn)180°得到橢圓D的方程為 +=1．
（2） 設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵|AM|=|AN|，∴A在線段MN的中垂線上．
把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入橢圓C：的方程得：+=1，①
+=1 ②，用①減去②得：=，
∴k==-×，再由中垂線的性質(zhì)得 ==，
∴=，∴y₁+y₂=-2，∴x₁+x₂=-3k（y₁+y₂）=-6k，
故MN的中點（-3k，-1），
把y=kx+m代入橢圓C：得，（1+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴x₁+x₂=-6k=，∴m=1+3k²，∴mx²+6kmx+3m²-12=0，
由題意知，判別式大于0，即 36k²m²-4m（3m²-12）＞0，
36××m²-12m³+48m＞0，m（m-4）＜0，∴0＜m＜4，
故 m的取值范圍為 （0，4）．
分析：（1）橢圓C的對稱中心（0，0）關(guān)于點P（1，2）的對稱點為（2，4），且對稱軸平行于坐標(biāo)軸，長軸、短軸的長度不變．
（2）把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入橢圓C相減，利用斜率公式及A在線段MN的中垂線上，求得y₁+y₂=-2，x₁+x₂=-6k，把y=kx+m代入橢圓C：化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用判別式大于0，求出m的取值范圍．
點評：本題考查利用對稱法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，斜率公式、中點公式的應(yīng)用，以及一元二次方程有兩個根的條件．