Question

3．函數(shù)y=f（θ）=$\frac{2sinθ-2}{cosθ-3}$的值域為[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 變形可得ycosθ-2sinθ=3y-2，由輔助角公式和三角函數(shù)的值域可得y的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵y=$\frac{2sinθ-2}{cosθ-3}$，∴y（cosθ-3）=2sinθ-2，
∴ycosθ-2sinθ=3y-2，
∵ycosθ-2sinθ=$\sqrt{{y}^{2}+4}$cos（θ+φ），其中tanφ=$\frac{2}{y}$，
∴|ycosθ-2sinθ|≤$\sqrt{{y}^{2}+4}$，即|3y-2|≤$\sqrt{{y}^{2}+4}$，
解關(guān)于y的不等式可得0≤y≤$\frac{3}{2}$，
故答案為：[0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及輔助角公式和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．