Question

15．已知拋物線Γ：x²=2py（p＞0），焦點為F，點P在拋物線Γ上，且P到F的距離比P到直線y=-2的距離小1．
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）若點N為直線l：y=-5上的任意一點，過點N做拋物線Γ的切線NA與NB，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過某一定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y）利用條件列出方程求出p；
（2）設(shè)N（a，-5），求出切點坐標，進而求出直線AB的方程．

解答 解：（1）拋物線的準線方程為y=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)P（x，y），則PF=y+$\frac{p}{2}$，P到直線y=-2的距離為y+2，
∴y+$\frac{p}{2}$+1=y+2，
∴p=2．
∴拋物線Γ的方程是x²=4y．
（2）拋物線方程化為f（x）=$\frac{{x}^{2}}{4}$，f′（x）=$\frac{x}{2}$．
設(shè)N（a，-5），A（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），則f′（x₀）=$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+5}{{x}_{0}-a}$，
即$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+5}{{x}_{0}-a}$，解得x₀=a±$\sqrt{{a}^{2}+20}$．
∴A（a-$\sqrt{{a}^{2}+20}$，$\frac{{a}^{2}+10-a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}$），B（a+$\sqrt{{a}^{2}+20}$，$\frac{{a}^{2}+10+a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}$）．
∴直線AB的方程是$\frac{y-\frac{{a}^{2}+10-a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}}{a\sqrt{{a}^{2}+20}}$=$\frac{x-（a-\sqrt{{a}^{2}+20}）}{2\sqrt{{a}^{2}+20}}$．
整理得y=$\frac{a}{2}$x+5．
∴直線AB橫過點（0，5）．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，曲線的切線求法，是中檔題．