Question

過拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).設(shè)△AOB的面積為S(O為原點(diǎn)).

(1)用θ、p表示S;

(2)求S的最小值,若最小值為4時,求此時的拋物線方程.

Answer 1

分析：求△AOB的面積有兩種途徑,一是求頂點(diǎn)到AB的距離OH(如圖所示),利用S=|AB|·|OH|;二是將圖形進(jìn)行分割,利用S=S_△AOF+S_△BOF,把OF看作兩三角形的公共底邊.

@@解法一：

(1)設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

若θ=90°時,AB⊥x軸,由拋物線定義,知|AB|=2p,這時|OH|=|OF|=,

∴S_△AOB=·2p·

若θ≠90°時,設(shè)直線AB方程為y=tanθ(x-),

則|OH|= (∵0°＜θ＜180°).

從中消去x,得

y²-(2pcotθ)y-p²=0.                             ①

∵y₁、y₂是方程①的兩根,

∴y₁+y₂=2pcotθ,y₁y₂=-p².

由弦長公式,得

|AB|=·|y₁-y₂|=·

=(1+cot²θ)·2p

,

∴.                                   ②

當(dāng)θ=90°時,S=滿足②式,

∴

(2)∵0°＜θ＜180°,

∴,當(dāng)且僅當(dāng)θ=90°時,等號成立,即S_min=,表示焦點(diǎn)弦AB變成通徑時,△AOB面積最小.

令=4,得p=.

∴所求拋物線方程是y²=4x.

解法二：從S=S_△AOF+S_△BOF

其余同解法一就可得到結(jié)論.

綠色通道：

在本題解決的過程中,已證明了焦點(diǎn)弦長公式|AB|=,由S=,還可推出關(guān)系式,表明對于拋物線y²=2px來講,S²:|AB|=(定值).