Question

已知f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若f（x）在[0，1]上的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)M={a∈R：f（x）在區(qū)間[-2，3]上的最小值為-1}，試求M；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使f（x）在[-4，2]上的值域?yàn)閇-12．，13]？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求對(duì)稱軸，比較對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，利用開口向下的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大來(lái)解題．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a，分區(qū)間[-2，3]在對(duì)稱軸的左側(cè)，右側(cè)，兩側(cè)三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的最小值為-1，構(gòu)造a的方程，判斷是否有滿足條件的解，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a，分區(qū)間對(duì)稱軸[-4，2]左側(cè)，右側(cè)，在區(qū)間上但在中點(diǎn)左側(cè)，右側(cè)四種情況進(jìn)行討論，根據(jù)f（x）在[-4，2]上的值域?yàn)閇-12，13]，構(gòu)造a的方程，判斷是否有滿足條件的解，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：（1）對(duì)稱軸x=a，
當(dāng)a＜0時(shí)，[0，1]是f（x）的遞減區(qū)間，f（x）_max=f（0）=1-a=2，∴a=-1；
當(dāng)a＞1時(shí)，，[0，1]是f（x）的遞增區(qū)間，f（x）_max=f（1）=a=2，∴a=2；
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）_max=f（a）=）=a^2-a+1=2，解得a=

1± 5

2

，與0≤a≤1矛盾；
所以a=-1或a=2．
（2）當(dāng)a＜-2時(shí)，區(qū)間[-2，3]是f（x）的遞減區(qū)間，f（x）_min=f（3）=5a-8＜-18，不滿足要求；
當(dāng)a＞3時(shí)，區(qū)間[-2，3]是f（x）的遞增區(qū)間，f（x）_min=f（-2）=-5a-3＜18，不滿足要求；
當(dāng)-2≤a≤3時(shí)，f（x）_min=f（a）=a²-a+1≥

3

4

不滿足要求；
綜上不存在滿足條件的a值，故M=Φ．
（3）當(dāng)a＜-4時(shí)，區(qū)間[-4，2]是f（x）的遞減區(qū)間，則若f（x）_min=f（2）=-12，則a=-3，不滿足要求；
當(dāng)a＞2時(shí)，區(qū)間[-4，2]是f（x）的遞增區(qū)間，則若f（x）_min=f（-4）=-12，則a=-

1

3

，不滿足要求；
當(dāng)-4≤a≤-1時(shí)，f（x）_min=f（2）=3a-3=-12，則a=-3，此時(shí)f（x）_max=f（a）=a²-a+1=13，滿足要求；
當(dāng)-1≤a≤2時(shí)，f（x）_min=f（-4）=-9a-15=-12，則a=-

1

3

，此時(shí)f（x）_max=f（a）=a²-a+1=

13

9

，不滿足要求；
綜上，在實(shí)數(shù)a=-3滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．關(guān)于不定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論