Question

（2013•黃浦區(qū)二模）設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的動直線l交拋物線C于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若

OE

=2(

OA

+

OB

)（O為坐標(biāo)原點），且點E在拋物線C上，求直線l傾斜角；
（3）若點M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點，直線MF，MA，MB的斜率分別為k₀，k₁，k₂．求證：當(dāng)k₀為定值時，k₁+k₂也為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）根據(jù)向量和（1）的結(jié)論可用k表示E點的坐標(biāo)代入拋物線的方程即可得出直線l的斜率和傾斜角；
（3）利用向量計算公式和（1）中的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知：F(

p

2

，0)，設(shè)直線l的方程為：x=ky+

p

2

，則：
聯(lián)立方程：

x=ky+ p 2 y2=2px

，消去x可得：y²-2pky-p²=0（*），
根據(jù)韋達(dá)定理可得：y1y2=-p2=-4，∴p=2，
∴拋物線C的方程：y²=4x．
（2）設(shè)E（x₀，y₀），則：

x0=2(x1+x2) y0=2(y1+y2)

，由（*）式可得：y₁+y₂=2pk=4k
∴y₀=8k，
又

x1=ky1+ p 2 x2=ky2+ p 2

，∴x1+x2=k(y1+y2)+p=2pk2+p=4k2+2
∴x0=8k2+4
∵

y

2 0

=4x0，∴64k²=4（8k²+4），∴2k²=1，∴k=±

2

2

∴直線l的斜率kl=

1

k

=tanα=±

2

，
∴傾斜角為arctan

2

或π-arctan

2

（3）可以驗證該定值為2k₀，證明如下：
設(shè)M（-1，y_M），則：k0=

-yM

2

，k1=

y1-yM

x1+1

，k2=

y2-yM

x2+1

∵

x1=ky1+1 x2=ky2+1

，∴

x1+1=ky1+2 x2+1=ky2+2

∴k1+k2=

y1-yM

x1+1

+

y2-yM

x2+1

=

y1-yM

ky1+2

+

y2-yM

ky2+2

=

(y1-yM)(ky2+2)+(y2-yM)(ky1+2)

(ky1+2)(ky2+2)

=

2ky1y2+2(y1+y2)-yM(k(y1+y2)+4)

k2y1y2+2k(y1+y2)+4

=

-8k+8k-yM(4k2+4)

-4k2+8k2+4

=-yM
∴k₁+k₂=2k₀為定值．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵．