Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x-2

（3≤x≤5）
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并證明
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性并證明．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可求f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
證明：設(shè)3≤x₁＜x₂≤5，則f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1-2

-

2x2+1

x2-2

=

(2x1+1)(x2-2)-(2x2+1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=-

5(x1-x2)

(x1-2)(x2-2)

，
∵3≤x₁＜x₂≤5，
∴x₁-x₂＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），即函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）在[3，5]上為減函數(shù)．
∴當x=3時f（x）取最大值，最大值為f（3）=7
當x=5時f（x）取最小值，最小值為f（5）=

11

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．