Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2x在x=-2和x=1處取得極值
（1）求函數(shù)的解析式；       
（2）求函數(shù)在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系f′（x）=0，求出a、b的值；
（2）分別求出端點(diǎn)值和極值，通過(guò)比較得出該區(qū)間上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-2x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-2；
由題意知f′（-2）=0，f′（1）=0，
∴

3a×4-4b-2=0 3a+2b-2=0

；
解得a=

1

3

，b=

1

2

；
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x；
（2）由（1）可得，最值應(yīng)在x=-2，1，2中取得
∵f（-2）=

1

3

×（-2）³+

1

2

×（-2）²-2×（-2）=

10

3

，
f（1）=

1

3

×1³+

1

2

×1²-2×1=-

7

6

，
f（2）=

1

3

×2³+

1

2

×2²-2×2=

2

3

，
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值為

10

3

，最小值為-

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值的問(wèn)題，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，應(yīng)比較函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，是中檔題．