Question

若函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），且在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于本題是一個(gè)奇函數(shù)且在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（-2）=0，可以得出函數(shù)的圖象特征．由圖象特征求解本題中的不等式的解集即可．

解答： 解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（-2）=0，
∴f（2）=0，且當(dāng)x＜-2或0＜x＜2時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方，當(dāng)x＞2與-2＜x＜0時(shí)函數(shù)圖象在x軸上方
∴xf（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2）．
故答案為：（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推測(cè)出函數(shù)圖象的特征，利用函數(shù)圖象的特征解不等式，由此特征結(jié)合函數(shù)的圖象不難得出不等式的解集．由此可以看出求解本題的關(guān)鍵是把函數(shù)圖象特征研究清楚，以形助數(shù)．