Question

定義在區(qū)間d上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），若滿足對(duì)任意的m，n∈d，m＜n，總有f（m）+kn＜f（n）+km成立，則稱(chēng)y為斜k度函數(shù)，已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-（a-1）x為斜一度函數(shù)，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由k=1，得到f（m）-f（n）＜m-n＜0，進(jìn)一步得到函數(shù)f（x）為增函數(shù)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

2x2-(a-1)x+a

x

，分母恒大于0，令g（x）=2x²-（a-1）x+a，分其對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)時(shí)，函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，只需g（0）=a≥0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)時(shí)，則需△≤0成立即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=alnx+x²-（a-1）x為斜一度函數(shù)，
即k=1，對(duì)任意的m，n∈d，m＜n，總有f（m）+kn＜f（n）+km成立，
即f（m）+n＜f（n）+m，也就是f（m）-f（n）＜m-n＜0，
∴

f(m)-f(n)

m-n

＞0，則f（x）=alnx+x²-（a-1）x為（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴f′(x)=

a

x

+2x-(a-1)=

2x2-(a-1)x+a

x

≥0在x＞0時(shí)恒成立，
令g（x）=2x²-（a-1）x+a，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

a-1

4

．
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)或y軸時(shí)，即

a-1

4

≤0，a≤1，只需g（0）=a≥0，則0≤a≤1；
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)時(shí)，即

a-1

4

＞0，a＞1，
g（x）開(kāi)口向上，則需圖象與x軸至多有一切點(diǎn)，
即△=[-（a-1）]²≤0，解得：5-2

6

≤a≤5+2

6

，
∴1＜a≤5+2

6

．
綜上：0≤a≤5+2

6

．
故答案為：[0，5+2

6

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)符號(hào)間的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．