Question

函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞

1

2

，則不等式f（lnx）＜

1+lnx

2

的解集為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)g（lnx）=f（lnx）-

1+lnx

2

，得出g（x）在R上是增函數(shù)，且g（1）=0．所以f（lnx）＜

1+lnx

2

的解集即是g（lnx）＜0=g（1）的解集，解出即可．

解答： 解：設(shè)g（lnx）=f（lnx）-

1+lnx

2

，
∵f（1）=1，f'（x）＞

1

2

，
∴g（1）=f（1）-1=0，g′（x）=f′（x）-

1

2

＞0，
∴g（x）在R上是增函數(shù)，且g（1）=0．
令t=lnx（t＞0），則g（t）=f（t）-

1+t

2

，
∴f（t）＜

1+t

2

的解集即是g（t）＜0=g（1）的解集．
∴t＜1即lnx＜1，
∴0＜x＜e，
故答案為：（0，e）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．