如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中點，作EF⊥PB交PB于F

(1)求證：PA∥平面EDB；

(2)求證：PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小。

 

【答案】

設(shè)AC、BD相交于點O，連接OE、BE、DF。

（1）明顯可知，PA在平面EDB外，E是PC中點，O是正方形ABCD中點，所以O(shè)E是三角形APC中位線，所以有EO//PA。所以PA//平面EDB。

（2）由條件可知，BC垂直于CD，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，所以，PD⊥BC，PD/CD相交于點D，所以BC⊥平面PCD。因為PD=CD，E是PC中點，所以DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC，所以DE⊥PB，又因為EF⊥PB，且DE和EF相交，所以PB⊥平面EFD

（2）以DA,DC，DP為ｘ，ｙ，ｚ軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形的邊長為１，易知為平面CBD的法向量，為平面PBD的法向量，＝，，，二面角C-PB-D的大小為，

【解析】（1）設(shè)AC、BD相交于點O，連接OE，證明線線平行EO//PA，得到線面平行；(2)證明PB垂直平面內(nèi)兩條相交直線；（3向量法計算

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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