【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知A(﹣2,0),B ,M(x,y)是曲線C上的動點,且直線AM與BM的斜率之積等于.
(1)求曲線C方程;
(2)過D(2,0)的直線l(l與x軸不垂直)與曲線C交于E,F兩點,點F關于x軸的對稱點為F′,直線EF′與x軸交于點P,求△PEF的面積的取值范圍.
【答案】(1)(y≠0);(2)(0,4)
【解析】
(1)利用斜率公式由題意可得:,化簡即可得到曲線方程;(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,利用根與系數(shù)的關系求出點的坐標,在求出的面積,利用換元法得到,再令利用導數(shù)得到,從而得出的面積的取值范圍.
(1)由題意可得:,
化簡得:,
故曲線C方程為:(y≠0);
(2)設E(x1,y1),F(x2,y2),由題意可知直線l的斜率存在且不為零,
設直線l的方程為x=my+2(m≠0),代入化簡并整理得:(m2+4)y2+4my﹣8=0,
∴y1+y2,y1y2,
由題意可知,F'(x2,﹣y2)且x1≠x2,∴直線EF'的方程為y﹣y1(x﹣x1),
令y=0得,x=x12=6,
∴點P(0,6),
∴S△PEF2,
令t,則t>2,S△PEF,
∵f(t)=t在(2,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(t)>3,
∴0<S△PEF<4,
∴△PEF的面積的取值范圍為(0,4).
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【題目】給出下列三個命題:(1)如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行;(2)一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面不相交,則這兩個平面平行;(3)一個平面內(nèi)有不共線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行;其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑,圓柱的表面積為;點在底面圓上,且直線與下底面所成的角的大小為,
(1)求點到平面的距離;
(2)求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是且邊長為的菱形,側(cè)面為正三角形,其所在平面垂直于底面,若為的中點,為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:;
(3)在棱上是否存在一點,使平面平面,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由
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【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣,在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學生 | 60 | 20 | 80 |
北方學生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”;
已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
附:
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,O,E分別為AD,PB的中點,平面平面ABCD,,.
(1)求證:平面PCD;
(2)求證:平面PCD;
(3)求二面角的余弦值.
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【題目】下列關于概率和統(tǒng)計的幾種說法:①10名工人某天生產(chǎn)同一種零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設其平均數(shù)為,中位數(shù)為,眾數(shù)為,則,,的大小關系為;②樣本4,2,1,0,-2的標準差是2;③在面積為的內(nèi)任選一點,則隨機事件“的面積小于”的概率為;④從寫有0,1,2,…,9的十張卡片中,有放回地每次抽一張,連抽兩次,則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的概率是.其中正確說法的序號有______.
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【題目】設橢圓的左焦點為,上頂點為.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設點在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點為直線與軸的交點,點在軸的負半軸上.若(為原點),且,求證:直線的斜率與直線MN的斜率之積為定值.
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