Question

6．已知函數(shù)f（x）=a1nx+bx（a，b∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為 x-2y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）當x＞1時，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立．求實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：當x∈N^*，且n≥2時.$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{{3n}^{2}-n-2}{{2n}^{2}+2n}$．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)在點（1，f（1））處的導數(shù)值即曲線切線的斜率及點在曲線上求得a，b的值；
（2）當x＞1時，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，等價于k＜0.5x²-xlnx，構造函數(shù)，求最值，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（3）利用（2）證明$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，把x=2，3，…n分別代入上面不等式，并相加得結論成立．

解答 （1）解：∵f（x）=alnx+bx，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+b．
∵直線x-2y-2=0的斜率為0.5，且過點（1，-0.5），
∴f（1）=b=-0.5，f′（1）=a+b=0.5，
解得a=1，b=-0.5．
（2）解：由（1）得f（x）=lnx-0.5x．
當x＞1時，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，等價于k＜0.5x²-xlnx．
令g（x）=0.5x²-xlnx，則g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=$\frac{x-1}{x}$．
當x＞1時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
故h（x）＞h（1）=0，
從而，當x＞1時，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
故g（x）＞g（1）=0.5．
∴k≤0.5．
（3）證明：由（2）得，當x＞1時，lnx-0.5x+$\frac{1}{2x}$＜0，可化為xlnx＜$\frac{{x}^{2}-1}{2}$，
又xlnx＞0，
從而$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$．
把x=2，…n分別代入上面不等式，并相加得，
$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{3n}^{2}-n-2}{{2n}^{2}+2n}$．
即有原不等式成立．

點評 本題屬導數(shù)的綜合應用題，考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查不等式的證明，有難度．