Question

18．已知x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時f（x）＞0，f（1）=2，則f（x）在區(qū)間[-5，5]上的值域為[-10，10]．

Answer 1

分析 利用賦值法求f（0）的值結合定義證明函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值即可得到結論．

解答 解：令x=y=0則f（0）=2f（0），∴f（0）=0；
對任意x∈R，取y=-x則f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)；
任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂=x₁+△x（其中△x＞0），
則f（△x）＞0，
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)，
即f（x）在[-5，5]上的最大值為f（5），最小值為f（-5）=-f（5）．
∵f（1）=2，
∴f（1）+f（1）=f（2）=4，
即f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=2+4=6，
f（5）=f（2+3）=f（2）+f（3）=4+6=10，
即最大值f（5）=10，最小值為f（-5）=-f（5）=-10．
故f（x）在區(qū)間[-5，5]上的值域為[-10，10]，
故答案為：[-10，10]．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)和函數(shù)值域的求解．利用賦值法，結合函數(shù)奇偶性和單調性的性質先判斷函數(shù)的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵．