Question

已知（1+3x²）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和為A_n，二項(xiàng)式系數(shù)和為B_n，設(shè)A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題意，可令x=1解出各項(xiàng)系數(shù)和為A_n，再由二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出二項(xiàng)式系數(shù)和為B_n，代入A_n-B_n=992，解可解出n的值．
（2）由（1）n=5，可得展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第三，四兩項(xiàng)，由項(xiàng)的公式求出此二項(xiàng)即可；
（3）法一：由題意T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，由此知，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)必滿足

3r C 5 r ≥3r-1 C 5 r-1 3r C 5 r ≥3r+1 C 5 r+1

，由此不等式組解出r的取值范圍，判斷出它的值．
法二：展開(kāi)二項(xiàng)式，化簡(jiǎn)各項(xiàng)的系數(shù)，得：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，觀察即可得出最大項(xiàng)

解答：解（1）令x=1，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為A_n=（1+3）ⁿ=2²ⁿ，…（2分）
二項(xiàng)式系數(shù)和為B_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，…（4分）
則A_n-B_n=2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．…（6分）
（2）因?yàn)閚=5，展開(kāi)式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
所以T₃=C₅²（3x²）²=90x⁴，T₄=C₅³（3x²）³=270x⁶．…（10分）
（3）設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，
依題意，

3r C r 5 ≥3r-1 C r-1 5 3r C r 5 ≥3r+1 C r+1 5

，解得

7

2

≤r≤

9

2

，故r=4．…（13分）
即展開(kāi)式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T₅=C₅⁴（3x²）⁴=405x⁸．…（14分）
解法二：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，
即展開(kāi)式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T₅=405x⁸．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項(xiàng)式系數(shù)和的求法與二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的求法，二項(xiàng)式項(xiàng)的展開(kāi)式，解題的關(guān)鍵是理解二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)概念，掌握二工項(xiàng)的展開(kāi)式公式，本題的難點(diǎn)是第三小題的求解，理解最大項(xiàng)的意義是解題的切入點(diǎn)，法一用的是項(xiàng)最大的意義，法二是求出各項(xiàng)的值，從而比較系數(shù)得出結(jié)論，法一偏重于邏輯推理，法二偏重于計(jì)算，可根據(jù)具體情況選擇合適的方法