Question

已知（1+3x²）ⁿ的展開式中，各項系數和為A_n，二項式系數和為B_n，設A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展開式中二項式系數最大的項；（3）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

解（1）令x=1，則展開式中各項系數和為A_n=（1+3）ⁿ=2²ⁿ，…（2分）
二項式系數和為B_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，…（4分）
則A_n-B_n=2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．…（6分）
（2）因為n=5，展開式共6項，二項式系數最大的項為第三、四兩項，
所以T₃=C₅²（3x²）²=90x⁴，T₄=C₅³（3x²）³=270x⁶．…（10分）
（3）設展開式中第r+1項系數最大，則T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，
依題意，，解得，故r=4．…（13分）
即展開式中第5項系數最大，T₅=C₅⁴（3x²）⁴=405x⁸．…（14分）
解法二：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，
即展開式中第5項系數最大，T₅=405x⁸．…（14分）
分析：（1）由題意，可令x=1解出各項系數和為A_n，再由二項式系數和公式求出二項式系數和為B_n，代入A_n-B_n=992，解可解出n的值．
（2）由（1）n=5，可得展開式中二項式系數最大的項是第三，四兩項，由項的公式求出此二項即可；
（3）法一：由題意T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，由此知，展開式中系數最大的項必滿足，由此不等式組解出r的取值范圍，判斷出它的值．
法二：展開二項式，化簡各項的系數，得：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，觀察即可得出最大項
點評：本題考點是二項式系數的性質，考查了二項式系數和的求法與二項式各項系數和的求法，二項式項的展開式，解題的關鍵是理解二項式系數與項的系數概念，掌握二工項的展開式公式，本題的難點是第三小題的求解，理解最大項的意義是解題的切入點，法一用的是項最大的意義，法二是求出各項的值，從而比較系數得出結論，法一偏重于邏輯推理，法二偏重于計算，可根據具體情況選擇合適的方法