已知拋物線C:與橢圓共焦點,
(Ⅰ)求的值和拋物線C的準線方程;
(Ⅱ)若P為拋物線C上位于軸下方的一點,直線是拋物線C在點P處的切線,問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點A,B,且使?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)不存在滿足條件的直線.
解析試題分析:(Ⅰ)因為拋物線C:與橢圓共焦點,
所以拋物線C:的焦點為(1,0) (1分)
所以得 (3分)
拋物線C的準線方程為 (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線C:
因為 P為拋物線C上位于軸下方的一點,
所以點P滿足 ,
所以點處的切線的斜率為
所以平行于的直線方程可設為 (6分)
解方程組,消去得:,(7分)
因為直線與拋物線C交于不同的兩點A,B,
所以即, (8分)
設,則
, (10分)
所以線段AB的中點為,
線段AB的中垂線方程為 (12分)
由知點P在線段AB的中垂線上
所以 , (13分)
又得代人上式得 ,(14分)
而 且,所以無解.
從而不存在滿足條件的直線. (15分)
考點:橢圓、拋物線的幾何性質,直線與拋物線的位置關系,簡單不等式解法。
點評:中檔題,曲線關系問題,往往通過聯立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題求拋物線準線方程時,主要運用了橢圓、拋物線的定義及幾何性質。(2)作為研究直線與拋物線相交時弦長的范圍問題,應用韋達定理,建立了k的不等式,進一步使問題得解。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知、是橢圓的左、右焦點,且離心率,點為橢圓上的一個動點,的內切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 若是橢圓上不重合的四個點,滿足向量與共線,與共
線,且,求的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(13分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(﹣1,0),F2(1,0),且橢圓C經過點.
(I)求橢圓C的離心率:
(II)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且,求點Q的軌跡方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
若橢圓C:的離心率e為, 且橢圓C的一個焦點與拋物線y2=-12x的焦點重合.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設點M(2,0), 點Q是橢圓上一點, 當|MQ|最小時, 試求點Q的坐標;
(3) 設P(m,0)為橢圓C長軸(含端點)上的一個動點, 過P點斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點, 若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與m無關, 求k的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,一個頂點為,且其右焦點到直線的距離為3.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設直線過定點,與橢圓交于兩個不同的點,且滿足.
求直線的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知圓的方程為,過點作圓的兩條切線,切點分別為、,直線恰好經過橢圓的右頂點和上頂點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設是橢圓(垂直于軸的一條弦,所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點,直線、分別交定直線于兩點、,求證.
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