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已知圓的方程為，過點作圓的兩條切線，切點分別為、,直線恰好經過橢圓的右頂點和上頂點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設是橢圓（垂直于軸的一條弦，所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點，直線、分別交定直線于兩點、，求證.

（Ⅰ）  （Ⅱ）聯立方程組表示出向量,再證.

解析試題分析：（Ⅰ） 觀察知，是圓的一條切線，切點為，
設為圓心，根據圓的切線性質，，
所以， 所以直線的方程為.
線與軸相交于，依題意，所求橢圓的方程為 
（Ⅱ） 橢圓方程為，設
則有，
在直線的方程中，令，整理得
           ①
同理，     ②
①②，并將代入得
 
===.
而=   
∵且，∴
∴
考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查橢圓的標準方程，考查數形結合思想，考查學生的運算能力、分析問題解決問題的能力，難度較大．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：與橢圓共焦點，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準線方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點，直線是拋物線C在點P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在等腰直角中，，，點在線段上.

(Ⅰ) 若，求的長；
（Ⅱ）若點在線段上，且，問：當取何值時，的面積最��？并求出面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

分別求適合下列條件圓錐曲線的標準方程：
（1）焦點 為、且過點橢圓；
（2）與雙曲線有相同的漸近線，且過點的雙曲線．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別是，Q是橢圓外的動點，滿足．點是線段與該橢圓的交點，點T是的中點．

（Ⅰ）設為點的橫坐標，證明；
（Ⅱ）求點T的軌跡的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為，為橢圓C上一點，的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直線，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點是直線被橢圓所截得的線段中點，求直線的方程。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中,以坐標原點為幾點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線上兩點的極坐標分別為,圓的參數方程(為參數).
(Ⅰ)設為線段的中點,求直線的平面直角坐標方程;
(Ⅱ)判斷直線與圓的位置關系.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，過拋物線（＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB。

⑴設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標；
⑵求弦AB中點M的軌跡方程。

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