Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＜0，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立時(shí)實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用條件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上單調(diào)遞減，從而將f（x²+tx）＜f（x-4）轉(zhuǎn)化為x²+tx＞x-4，研究二次函數(shù)得到本題結(jié)論；（2）令t=f（x）=2^x-2^-x，得到二次函數(shù)h（t）=t²-2mt+2在區(qū)間[

3

2

，+∞）上的最小值，分類討論研究得到m=2，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，
∴a-

1

a

＜0，又∵a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1．
∵a^x單調(diào)遞減，a^-x單調(diào)遞增，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0化為：f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得：-3＜t＜5．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0．
∴a=-

1

2

（舍去）或a=2，
∴a=2，
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（1）可知t=f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥

3

2

），
若m≥

3

2

，
當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
綜上可知m=2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．