Question

8．如圖AB是半圓的直徑，C是圓上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，CD是圓的切線，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)，DF=DC，延長(zhǎng)DF交AB于E．
（Ⅰ）求證：DE∥CH；
（Ⅱ）求證：AD²-DF²=AE•AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BC，證明△ACH∽△ABC，∠ACH=∠DFC，可得DE∥CH；
（Ⅱ）設(shè)AD與半圓交于點(diǎn)M，連結(jié)BM，證明△AED∽△AMB，可得AE•AB=DA•AM，即可證明AD²-DF²=AE•AB．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BC，
∵CD是圓的切線，AC是弦，
∴∠DCF=∠CBA
∵DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠DFC=∠CBA，
又∵CH⊥AB，∠ACB=90°，∴△ACH∽△ABC，
∴∠ACH=∠CBA，∴∠ACH=∠DFC，∴DE∥CH；…（5分）
（Ⅱ）設(shè)AD與半圓交于點(diǎn)M，連結(jié)BM，
∵CD是圓的切線，∴DC²=DA•DM，
又∵DE⊥AB，∠AMB=90°，∴△AED∽△AMB，
∴$\frac{AE}{DA}=\frac{AM}{AB}$，∴AE•AB=DA•AM，
∴DA²-DF²=DA²-DC²=DA²-DA•DM=DA•（DA-DM）=DA•AM=AE•AB．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓相關(guān)的比例線段，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．實(shí)際應(yīng)用中，見(jiàn)到圓的兩條相交弦要想到相交弦定理；見(jiàn)到兩條割線要想到割線定理；見(jiàn)到切線和割線要想到切割線定理．