Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

═1的左右焦點為F₁，F₂，e=

1

3

過F₁的直線l交橢圓C于A、B兩點，|AF₂||AB||BF₂|成等差數列，|AB|=4．
（1）求橢圓C的方程．
（2）M、N是橢圓C上的兩點，若MN被直線x=1平分，證明MN的中垂線過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得4a=|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3|AB|=12，e=

c

a

=

1

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為（1，y₀），利用點差法求出線段MN的中垂線方程為y-y₀=

9y0

8

(x-1)，由此能證明MN的中垂線過定點（

1

9

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數列，
∴|AF₂|+|BF₂|=2|AB|．…2分
∴4a=|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3|AB|=12，…5分
得a=3，又e=

c

a

=

1

3

，所以c=1，b=

a2-c2

=2

2

，
所求的橢圓方程為：

x2

9

+

y2

8

=1．…7分
（Ⅱ）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為（1，y₀），
由題意知：

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，…9分
兩式相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

8

=0，
∴k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

9(y1+y2)

=-

8

9y0

，
所以線段MN的中垂線方程為y-y₀=

9y0

8

(x-1)，…11分
∴此直線經過定點（

1

9

，0）．
∴MN的中垂線過定點（

1

9

，0）．…12分

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段的中垂線過定點的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓方程的性質的合理運用．