Question

（Ⅰ）求以點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）分別為左右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，-2

6

)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求與雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1有相同漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

6

，1)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程，利用點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）分別為左右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，-2

6

)，建立方程組，求出幾何量，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線方程為

y2

4

-

x2

12

=λ，代入P的坐標(biāo)，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則

a2-b2=4 9 a2 + 24 b2 =1

∴a²=36，b²=32
∴橢圓方程為

x2

36

+

y2

32

=1；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線方程為

y2

4

-

x2

12

=λ
將點(diǎn)P(

6

，1)代入雙曲線方程，可得

1

4

-

6

12

=λ
∴λ=-

1

4

∴雙曲線方程為

y2

4

-

x2

12

=-

1

4

，即

x2

3

-y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．